Trắc nghiệm Toán học 12 Kết nối bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Để tìm tiệm cận đứng, xét giới hạn của hàm số khi $x \to 3$. Ta có $\lim_{x \to 3^+} \frac{2x+1}{x-3} = +\infty$ và $\lim_{x \to 3^-} \frac{2x+1}{x-3} = -\infty$. Do đó, đường thẳng $x=3$ là tiệm cận đứng. Để tìm tiệm cận ngang, xét giới hạn của hàm số khi $x \to \pm\infty$. Ta có $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x+1}{x-3} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2 + 1/x}{1 - 3/x} = \frac{2}{1} = 2$. Do đó, đường thẳng $y=2$ là tiệm cận ngang. Kết luận Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=3$ và tiệm cận ngang $y=2$.

Hàm số xác định khi $x^2 - 1 \ne 0 \Leftrightarrow (x-1)(x+1) \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 1$ và $x \ne -1$. Xét tiệm cận đứng: Nghiệm của mẫu số là $x=1$ và $x=-1$. Xét tử số $x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2)$. Tại $x=1$, tử số bằng 0, mẫu số bằng 0. Ta rút gọn: $y = \frac{(x-1)(x-2)}{(x-1)(x+1)} = \frac{x-2}{x+1}$ với $x \ne 1, x \ne -1$. Khi $x \to 1$, $\lim_{x \to 1} \frac{x-2}{x+1} = \frac{1-2}{1+1} = \frac{-1}{2}$ (hữu hạn), nên $x=1$ không phải tiệm cận đứng. Tại $x=-1$, tử số $x-2 \to -1-2 = -3 \ne 0$, mẫu số $x+1 \to 0$. Do đó $\lim_{x \to -1^+} \frac{x-2}{x+1} = +\infty$ và $\lim_{x \to -1^-} \frac{x-2}{x+1} = -\infty$. Vậy $x=-1$ là tiệm cận đứng. Xét tiệm cận ngang: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1 - 3/x + 2/x^2}{1 - 1/x^2} = \frac{1 - 0 + 0}{1 - 0} = 1$. Vậy $y=1$ là tiệm cận ngang. Đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng ($x=-1$) và 1 tiệm cận ngang ($y=1$). Tổng cộng có 2 đường tiệm cận. Kết luận số đường tiệm cận của đồ thị hàm số là 2.

Xét hàm số $y = x^3 - 3x$. Tập xác định $D = \mathbb{R}$. Đạo hàm $y' = 3x^2 - 3$. Cho $y' = 0 \Leftrightarrow 3x^2 - 3 = 0 \Leftrightarrow x^2 = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1$. Xét dấu $y'$: $y' < 0$ khi $x \in (-1; 1)$. Vậy hàm số $y = x^3 - 3x$ nghịch biến trên khoảng $(-1; 1)$. Kiểm tra các hàm khác: $y = x^3 + 3x$, $y' = 3x^2 + 3 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$, đồng biến. $y = -x^3 + 3x$, $y' = -3x^2 + 3$, $y' < 0$ khi $|x| > 1$. $y = x^4 - 2x^2$, $y' = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1)$, $y'$ đổi dấu trên $(-1; 1)$. Kết luận Giải thích: Hàm số $y = x^3 - 3x$ nghịch biến trên khoảng $(-1; 1).

Đạo hàm của hàm số là $y' = 3x^2 - 6x$. Tìm nghiệm của $y' = 0$: $3x^2 - 6x = 0 \Leftrightarrow 3x(x - 2) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$. Xét dấu của $y'$: $y' > 0$ khi $x < 0$ hoặc $x > 2$. $y' < 0$ khi $0 < x < 2$. Hàm số đồng biến trên các khoảng mà $y' > 0$. Kết luận hàm số đồng biến trên các khoảng $(- \infty; 0)$ và $(2; +\infty)$.

Hàm số $y = \frac{x+1}{x-2}$ có mẫu số là $x-2$. Để hàm số xác định, mẫu số phải khác 0, tức là $x-2 \neq 0$. Điều này tương đương với $x \neq 2$. Vậy tập xác định của hàm số là $\mathbb{R} \setminus \{2\}$. Kết luận Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R} \setminus \{2\}$.

Điểm cực trị của hàm số $f(x)$ là những điểm mà tại đó $f'(x)$ đổi dấu. Các nghiệm của $f'(x) = 0$ là $x=0$ (bội 1), $x=1$ (bội 2), $x=-2$ (bội 3). $f'(x)$ đổi dấu khi đi qua các nghiệm bội lẻ của phương trình $f'(x) = 0$. Các nghiệm bội lẻ là $x=0$ (bội 1) và $x=-2$ (bội 3). $x=1$ là nghiệm bội chẵn (bội 2), nên $f'(x)$ không đổi dấu khi đi qua $x=1$. Vậy $f'(x)$ đổi dấu tại $x=0$ và $x=-2$. Hàm số có 2 điểm cực trị. Kết luận Giải thích: Số điểm cực trị của hàm số là 2.

Tập xác định $D = \mathbb{R}$. Đạo hàm $y' = -4x^3 + 4x = -4x(x^2 - 1) = -4x(x-1)(x+1)$. Cho $y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 1$ hoặc $x = -1$. Xét dấu $y'$: $y' > 0$ trên $(-\infty, -1)$ và $(0, 1)$; $y' < 0$ trên $(-1, 0)$ và $(1, \infty)$. Hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ và $x=1$ (vì $y'$ đổi dấu từ dương sang âm). Giá trị cực đại là $y(-1) = -(-1)^4 + 2(-1)^2 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$ và $y(1) = -(1)^4 + 2(1)^2 + 3 = -1 + 2 + 3 = 4$. Hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$ (vì $y'$ đổi dấu từ âm sang dương). Giá trị cực tiểu là $y(0) = -(0)^4 + 2(0)^2 + 3 = 3$. Giá trị cực đại của hàm số là 4. Kết luận Giải thích: Giá trị cực đại của hàm số bằng 4.

Ta có đạo hàm $y' = 3x^2 - 6x$. Cho $y' = 0 \Leftrightarrow 3x^2 - 6x = 0 \Leftrightarrow 3x(x-2) = 0 \Leftrightarrow x=0$ hoặc $x=2$. Xét dấu $y'$: $y' > 0$ khi $x < 0$ hoặc $x > 2$; $y' < 0$ khi $0 < x < 2$. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; 2)$. Kết luận Khoảng nghịch biến của hàm số là $(0; 2)$.

Tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{-3\}$. Xét giới hạn khi $x \to -3^+$ và $x \to -3^-$. Khi $x \to -3^+$, tử số tiến về $2(-3) - 1 = -7$, mẫu số tiến về $0^+$. Vậy $\lim_{x \to -3^+} \frac{2x-1}{x+3} = -\infty$. Khi $x \to -3^-$, tử số tiến về $-7$, mẫu số tiến về $0^-$. Vậy $\lim_{x \to -3^-} \frac{2x-1}{x+3} = +\infty$. Do đó, đường thẳng $x = -3$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Xét giới hạn khi $x \to +\infty$ và $x \to -\infty$. $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x-1}{x+3} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{3}{x}} = \frac{2-0}{1+0} = 2$. Do đó, đường thẳng $y = 2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng là $x = -3$ và 1 tiệm cận ngang là $y = 2$. Tổng cộng có 2 đường tiệm cận. Kết luận Giải thích: Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận.

Đạo hàm của hàm số là $y' = 4x^3 - 4x$. Cho $y' = 0 \Leftrightarrow 4x(x^2 - 1) = 0 \Leftrightarrow 4x(x-1)(x+1) = 0$. Các nghiệm là $x = 0, x = 1, x = -1$. Xét dấu $y'$: $y' < 0$ trên $(-\infty; -1)$, $y' > 0$ trên $(-1; 0)$, $y' < 0$ trên $(0; 1)$, $y' > 0$ trên $(1; +\infty)$. Hàm số đạt cực tiểu tại các điểm mà $y'$ đổi dấu từ âm sang dương, đó là $x = -1$ và $x = 1$. Tính giá trị của hàm số tại các điểm này: $y(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$. $y(1) = 1^4 - 2(1)^2 + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$. Hàm số đạt cực đại tại $x=0$: $y(0) = 0^4 - 2(0)^2 + 3 = 3$. Các điểm cực tiểu có tọa độ là $(-1; 2)$ và $(1; 2)$. Kết luận điểm cực tiểu của đồ thị hàm số có tọa độ là $(-1; 2)$ và $(1; 2)$.

Để hàm số đồng biến trên $(-\infty; +\infty)$, đạo hàm của nó phải không âm trên khoảng đó (chỉ bằng 0 tại hữu hạn điểm). Xét các đáp án: A) $y' = -3x^2 + 1$, có nghiệm, không đồng biến trên $(-\infty; +\infty)$. B) $y' = 4x^3 + 4x = 4x(x^2 + 1)$, có nghiệm $x=0$, $y'$ đổi dấu. C) $y' = 3x^2 + 2$. Vì $x^2 \ge 0$ nên $3x^2 + 2 \ge 2 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$. Đạo hàm luôn dương nên hàm số đồng biến trên $(-\infty; +\infty)$. D) $y' = \frac{1(x-2) - (x+1)1}{(x-2)^2} = \frac{-3}{(x-2)^2}$, luôn âm trên từng khoảng xác định. Kết luận hàm số có bảng biến thiên thể hiện hàm số đồng biến trên $(-\infty; +\infty)$ là $y = x^3 + 2x$.

Đạo hàm $f'(x) = (x-1)^2 (x-2)$. Ta tìm các điểm mà tại đó $f'(x) = 0$ hoặc không xác định. $f'(x)=0$ khi $(x-1)^2(x-2) = 0 \Leftrightarrow x=1$ (nghiệm kép) hoặc $x=2$ (nghiệm đơn). $f'(x)$ luôn xác định trên $\mathbb{R}$. Để xác định điểm cực trị, ta xét dấu của $f'(x)$ khi đi qua các nghiệm đơn. Tại $x=1$, $(x-1)^2$ luôn không âm và bằng 0 tại $x=1$, nên dấu của $f'(x)$ không đổi khi đi qua $x=1$. Tại $x=2$, $(x-1)^2 > 0$ với $x \neq 1$, dấu của $f'(x)$ phụ thuộc vào dấu của $(x-2)$. Khi $x < 2$, $x-2 < 0$, suy ra $f'(x) \le 0$. Khi $x > 2$, $x-2 > 0$, suy ra $f'(x) > 0$. Dấu của $f'(x)$ đổi từ âm sang dương khi đi qua $x=2$. Do đó, $x=2$ là điểm cực tiểu. Điểm $x=1$ không phải là điểm cực trị vì $f'(x)$ không đổi dấu khi đi qua $x=1$. Hàm số có duy nhất 1 điểm cực trị. Kết luận Hàm số có 1 điểm cực trị.

Tập xác định $D = \mathbb{R}$. Đạo hàm cấp nhất $y' = 4x^3 - 12x^2$. Đạo hàm cấp hai $y'' = 12x^2 - 24x = 12x(x - 2)$. Cho $y'' = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$. Xét dấu $y''$: $y'' > 0$ trên $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$; $y'' < 0$ trên $(0; 2)$. Đồ thị hàm số lồi (concave up) trên các khoảng mà $y'' > 0$. Đồ thị hàm số lồi trên các khoảng $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$. Kết luận Giải thích: Đồ thị hàm số lồi trên các khoảng $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty).

Để tìm tiệm cận ngang, ta xét giới hạn của hàm số khi $x \to \pm\infty$. Ta có $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x - 1}{x + 3} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x(2 - 1/x)}{x(1 + 3/x)} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2 - 1/x}{1 + 3/x} = \frac{2 - 0}{1 + 0} = 2$. Vì giới hạn hữu hạn khi $x \to \pm\infty$, nên đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 2$. Kết luận tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là đường thẳng có phương trình $y = 2$.

Ta có đạo hàm $y' = -4x^3 + 4x$. Cho $y' = 0 \Leftrightarrow -4x(x^2 - 1) = 0 \Leftrightarrow -4x(x-1)(x+1) = 0 \Leftrightarrow x=0, x=1, x=-1$. Xét dấu $y'$: $y' > 0$ trên $(-\infty; -1)$ và $(0; 1)$; $y' < 0$ trên $(-1; 0)$ và $(1; +\infty)$. Hàm số đạt cực đại tại $x=-1$ và $x=1$. Tại $x=-1$, $y = -(-1)^4 + 2(-1)^2 - 1 = -1 + 2 - 1 = 0$. Tại $x=1$, $y = -(1)^4 + 2(1)^2 - 1 = -1 + 2 - 1 = 0$. Hàm số đạt cực tiểu tại $x=0$. Tại $x=0$, $y = -(0)^4 + 2(0)^2 - 1 = -1$. Các điểm cực đại là $(-1; 0)$ và $(1; 0)$. Kết luận Hàm số đạt cực đại tại các điểm $(-1; 0)$ và $(1; 0)$.